Considerato un insieme A di elementi x e un insieme B di elementi y, si dice che y è funzione di x quando è assegnata una legge, di qualsiasi natura, che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.
E' una funzione la legge che associa a ogni persona il proprio giorno di nascita, la residenza, il codice fiscale, non è una funzione la legge che associa a ogni persona il proprio numero di telefono cellulare, perché ci sono persone che non posseggono un numero di telefono cellulare o persone che ne hanno più di uno.
Quando gli insiemi A e B sono di numeri reali si parla di funzione reale di variabile reale, x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente e la legge è di solito espressa mediante la forma y = f(x).
Si possono classificare le funzioni reali di variabile reale in base alla tipologia di espressione di f(x).
Si parla di funzioni algebriche se, per ogni x dell'insieme di definizione, il valore y si ottiene con un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice. In particolare si hanno:
- funzioni razionali intere se f(x) è un polinomio
- funzioni razionali fratte se f(x) è una funzione algebrica
- funzioni irrazionali se in f(x) compaiono operazioni di estrazione di radice di espressioni nella variabile x.
Si parla di funzioni trascendenti se, oltre alle operazioni indicate per le funzioni algebriche, compaiono altri operatori. Le funzioni trascendenti già note sono la funzione esponenziale e la funzione logaritmica, le funzioni goniometriche e le loro inverse.
